Magnetismus A - Z

Lorentzkraft

Die Lorentzkraft ist eine magnetische Kraft, die zwischen einem Magnetfeld und einer bewegten Ladung wirkt. Wenn sich eine Ladung senkrecht durch ein Magnetfeld bewegt, also die magnetischen Feldlinien kreuzt, so wirkt eine Kraft, die wiederum senkrecht auf Magnetfeld und Flugrichtung der Ladung steht. Dies ist die Lorentzkraft. Sie führt dann dazu, dass die Ladung eine Kreisbewegung beschreibt. Gefunden hat die Lorentzkraft der Physiker Hendrik Antoon Lorentz.
Grundsätzlich wirken magnetische Kräfte zwischen bewegten Ladungen. Denn bewegte Ladungen sind nach den Maxwellgleichungen, den Gesetzen der Elektrodynamik, die Ursache für Magnetfelder. So gibt es magnetische Kräfte (Anziehungs- und Abstoßungskräfte) zwischen den Polen (Nord- bzw. Südpol) verschiedener Permanentmagnete, die auf elementare Kreisströme im Material zurückgeführt werden. Es gibt aber auch eine Kraft direkt auf eine bewegte Ladung, wenn sich diese in einem Magnetfeld bewegt. Dies ist die sogenannte Lorentzkraft.
Die Lorentzkraft wirkt immer, wenn eine Ladung die magnetischen Feldlinien kreuzt. Sie kann z.B. dazu führen, dass die Ladung eine Kreisbewegung beschreibt.
Die Lorentzkraft FL wirkt auf bewegte Ladungsträger (blau) senkrecht zur momentanen Flugrichtung, wenn diese die Magnetfeldlinien kreuzen. Dabei wirkt die Lorentzkraft senkrecht auf die magnetische Flussdichte B und senkrecht auf die Flugrichtung der Ladungsträger v. Können sich die Elektronen frei bewegen, so werden sie auf eine Kreisbahn gezwungen.
Bestimmen kann man die Richtung der Lorentzkraft nach der sogenannten Rechte-Hand Regel. Wenn man den Daumen in Richtung der Flugrichtung einer gedachten positiven Ladung (also bei Elektronen gerade entgegengesetzt zur Flugrichtung) hält und den Zeigefinder in Richtung des Magnetfeldes, so gibt der Mittelfinger die Richtung der Kraft auf die bewegten Ladungsträger an.
Die Abbildung zeigt die Rechte-Hand Regel für das Kreuzprodukt: Will man die Richtung des Vektors v3 mit v3=v1xv2 wissen, so muss man den Daumen in Richtung von v1 und den Zeigefinger in Richtung von v2 halten. Der abgespreizte Mittelfinger zeigt dann in Richtung von v3 (rechte Grafik).
Für die Lorentzkraft FL gilt: FL=qvxB. Somit kann man die Richtung der Lorentzkraft ermitteln, indem man den Daumen entgegen (wegen des Minus-Zeichens in der Ladung e) der Flugrichtung der Elektronen mit Geschwindigkeit v hält und den Zeigefinger in Richtung der magnetischen Flussdichte B (linke Grafik).
Der senkrecht abgespreizte Mittelfinger zeigt dann in Richtung FL.
Die Lorentzkraft, welche nach ihrem Entdecker, dem Physiker Hendrik Antoon Lorentz, benannt wurde, wird in vielen physikalischen Experimenten und in einigen technischen Anwendungen ausgenutzt. Eine Hall-Sonde beispielsweise nutzt den physikalischen Effekt der Lorentzkraft aus. Sie besteht im Wesentlichen aus einem stromdurchflossenen Metallplättchen. Wenn man einen Strom an ein Metallplättchen anlegt, welches sich in einem Magnetfeld befindet, so wirkt eine Kraft auf die Elektronen, welche diese an eine Seite des Metallplättchens drängt. Die elektrische Spannung, die dabei über dem Plättchen entsteht, ist proportional zum Magnetfeld.
Mit Hilfe des sogenannten Fadenstrahlrohres konnte die Elementarladung pro Masse des Elektrons bestimmt werden. Dabei wird ebenfalls die Lorentzkraft ausgenutzt. Da die Elementarladung wiederum mit anderen Experimenten zugänglich ist, kann mit dem Fadenstrahlrohr letztendlich die verschwindend kleine Masse des Elektrons bestimmt werden. Der Wert der Elektronenmasse ist bedeutend. Ohne die genaue Kenntnis der Elektronenmasse wäre die Entwicklung von effizienten Halbleiterbauelementen für die Computertechnik nicht möglich.
Um das Fadenstrahlrohr zu verstehen, muss man sich zunächst die Formel für die Lorentzkraft \(\vec{F}_L\) ansehen. Sie lautet: \(\vec{F}_L=q\vec{v}\times\vec{B}\), wobei \(q\) die Ladung angibt, also eine negative Elementarladung -e für Elektronen, \(\vec{v}\) die Flugrichtung der Elektronen als Richtungsvektor und \(\vec{B}\) die magnetische Flussdichte mit Richtungsangabe, also ebenfalls als Vektor. Die Operation \(\vec{v}\times\vec{B}\) beschreibt das sogenannte Kreuzprodukt zweier Vektoren.
Das Ergebnis dieses Produktes ist wiederum ein Vektor, der auf die beiden Vektoren des Kreuzproduktes senkrecht steht. Interessiert man sich nicht für die Richtung der Lorentzkraft sondern nur für den Betrag, so kann man für den Betrag FL (ohne Vektor-Angabe) auch schreiben: FL=qvB•sinθ mit dem Sinus des Winkels θ zwischen Flugrichtung des Elektrons und magnetischer Flussdichte B.
Beim Fadenstrahlrohr werden die Elektronen aus einer Glühkathode emittiert und anschließend beschleunigt. Dann dringen sie in ein Magnetfeld ein und können so auf eine Kreisbahn gezwungen werden.
Die Skizze zeigt schematisch den Aufbau eines Fadenstrahlrohres. Die Elektronen werden an der Glühkathode durch die Heizspannung emittiert und anschließend beschleunigt (nicht gezeigt). Aus der Beschleunigungsspannung kann die Geschwindigkeit der Elektronen berechnet werden. Durch das Magnetfeld zwischen den Helmholtzspulen wirkt aber die Lorentzkraft auf die Elektronen, so dass diese auf eine Kreisbahn gezwungen werden (blau gezeichnet). Diese Kreisbahn hat den Radius r, der von der Geschwindigkeit der Elektronen und der magnetischen Flussdichte B abhängt.
Aus B, r und der Elektronengeschwindigkeit v kann dann aber die sogenannte spezifische Ladung q/m berechnet werden. Das Fadenstrahlrohr zählt zu den grundlegenden Experimenten der Physik.
Der Radius der Kreisbahn r nimmt den Wert an, bei dem die Zentrifugalkraft \(F_z=\frac{m\cdot{v^2}}{r}\), die auf die Elektronen mit der Masse m wirkt und die Lorentzkraft \(F_L=qvB\cdot{sin\theta}\) sich gerade kompensieren.
Fliegt das Elektron senkrecht zum Magnetfeld, so gilt wegen sin90°=1, dass FL=qvB.
Also folgt aus Fz=FL:
\(\frac{m\cdot{v^2}}{r}=qvB\Rightarrow\frac{q}{m}=\frac{v^2}{rvB}=\frac{v}{rB}\) .
Die Ladung pro Masse der Elektronen (sog. Spezifische Elektronenmasse) kann also aus der Geschwindigkeit der Elektronen, dem Radius der Kreisbahn im Fadenstrahlrohr und dem Betrag der magnetischen Flussdichte B bestimmt werden.
Die Geschwindigkeit der Elektronen kann wiederum aus der im Fadenstrahlrohr angelegten Beschleunigungsspannung berechnet werden. Die magnetische Flussdichte B kann man zum Beispiel mit einer Hall-Sonde messen.
Da die Zentrifugalkraft proportional mit der Masse ansteigt, die Lorentzkraft jedoch proportional mit der Ladung, würden Teilchen mit doppelter Masse und doppelter Ladung gerade auf der gleichen Kreisbahn fliegen wie Elektronen. Deshalb kann im Fadenstrahlrohr nur die spezifische Elementarladung \(\frac{q}{m}\) bestimmt werden.

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